Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-4x．
（1）求f（-1）的值；
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（3）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是R上的偶函数．
∴f（-1）=f（1）=1-4×1=-3
（2）若x＜0，则-x＞0
f（x）=f（-x）=[（-x）²-4（-x）]=x²+4x
（3）x＞0时f（x）=x²-4x=（x-2）²-4
在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数
①t+1≤2即0＜t≤1时，f（x）在[t，t+1]上是减函数
f（x）_min=f（t+1）=（t+1）²-4（t+1）=t²-2t-3
②t＜2＜t+1即1＜t＜2时f（x）在[t，t+1]上先减后增
f（x）_min=f（2）=-4
③t≥2时，f（x）在[t，t+1]上是增函数
f（x）_min=f（t）=t²-4t
即f（x）_min=
分析：（1）利用偶函数的定义，将f（-1）转化为f（1），从而代入已知解析式得解；（2）利用偶函数的定义，若x＜0，则-x＞0，代入已知解析式且f（-x）=f（x），得所求解析式；（3）由于x＞0时f（x）=x²-4x=（x-2）²-4在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，故需讨论t，t+1与2的关系，进而利用二次函数的图象求相应的最小值，最后写成分段函数形式
点评：本题考查了偶函数的定义及其应用，利用函数的对称性求函数值及函数解析式，二次函数在闭区间上的最值，分类讨论的思想方法