Question

7．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函数，且f（1）=3，f（2）=12．
（1）求a，b，c的值；
（2）设g（x）=（m+1）lnx+m$\frac{f（x）}{x}$+1-2m，讨论g（x）的单调性
（3）当m≤-2时，解不等式g（x）≤m+5-4x．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性性和条件，建立方程即可求a，b，c的值；
（2）由（1）得g（x）=（m+1）lnx+mx²+1，则g′（x）=$\frac{2{mx}^{2}+m+1}{x}$，①当m≥0时，g′（x）＞0恒成立，②当m≤-1时，g′（x）≤0恒成立，（仅当a=-1时取等号）③当-1＜m＜0时，0＜x＜$\sqrt{\frac{-m-1}{2m}}$时，g′（x）＞0；x＞$\sqrt{\frac{-m-1}{2m}}$时，g′（x）＜0，进而可得g（x）的单调性
（3）不等式g（x）≤m+5-4x可化为（m+1）lnx+mx²+4x-m-4≤0，令h（x）=（m+1）lnx+mx²+4x-m-4，利用导数法可得：函数为减函数，且h（1）=0，进而可得不等式的解集．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴b=0，
∵f（1）=3，f（2）=12．
∴$\left\{\begin{array}{l}a+c=3\\ 8a+2c=12\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}a=1\\ c=2\end{array}\right.$，
∴a，b，c的值分别为1，0，2；
（2）由（1）得f（x）=x³+2x，
∴g（x）=（m+1）lnx+m$\frac{f（x）}{x}$+1-2m=（m+1）lnx+mx²+1，
则g′（x）=$\frac{2{mx}^{2}+m+1}{x}$，
①当m≥0时，g′（x）＞0恒成立，
∴g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
②当m≤-1时，g′（x）≤0恒成立，（仅当a=-1时取等号）
∴g（x）在区间（0，+∞）上为减函数；
③当-1＜m＜0时，令g′（x）=0得x=$\sqrt{\frac{-m-1}{2m}}$，
易知0＜x＜$\sqrt{\frac{-m-1}{2m}}$时，g′（x）＞0；x＞$\sqrt{\frac{-m-1}{2m}}$时，g′（x）＜0
∴g（x）增于（0，$\sqrt{\frac{-m-1}{2m}}$）；减于（$\sqrt{\frac{-m-1}{2m}}$，+∞）
综上所述，m≥0时，g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
m≤-1时，g（x）在区间（0，+∞）上为减函数
-1＜m＜0时，g（x）在区间（0，$\sqrt{\frac{-m-1}{2m}}$）上为增函数；在区间（$\sqrt{\frac{-m-1}{2m}}$，+∞） 上为减函数…（8分）
（3）不等式g（x）≤m+5-4x可化为：（m+1）lnx+mx²+1≤m+5-4x，即（m+1）lnx+mx²+4x-m-4≤0，
令h（x）=（m+1）lnx+mx²+4x-m-4，
则h′（x）=$\frac{2{mx}^{2}+4x+m+1}{x}$=$\frac{1}{x}[2m（x+\frac{1}{m}）^{2}+\frac{（m+2）（m-1）}{m}]$，
当m≤-2时，h′（x）＜0恒成立，
故h（x）在区间（0，+∞）上为减函数；
由h（1）=0得：h（x）≤0?x≥1，
即不等式g（x）≤m+5-4x的解集为[1，+∞）．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，函数的最值，是函数图象与性质和导数的综合应用，难度中档．