Question

15．已知f（x）=（a-1）（a^x-a^-x）（a＞0．a≠1）．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若f（acos2x-a²）+f（6acosx-1）≤0对任意x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义进行判断并证明f（x）的单调性；
（3）将不等式恒成立进行转化进行求解即可．

解答 解：（1）∵x∈R，f（-x）=（a-1）（a^-x-a^x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数； …（2分）
（2）设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{a-1}）（{{a^{x_1}}-{a^{-{x_1}}}}）-（{a-1}）（{{a^{x_2}}-{a^{-{x_2}}}}）$=$（{a-1}）[{（{{a^{x_1}}-{a^{x_2}}}）-（{{a^{-{x_1}}}-{a^{-{x_2}}}}）}]$=$（{a-1}）[{（{{a^{x_1}}-{a^{x_2}}}）-\frac{{{a^{x_2}}-{a^{x_1}}}}{{{a^{x_1}}•{a^{x_2}}}}}]$=$（{a-1}）（{{a^{x_1}}-{a^{x_2}}}）（{1+\frac{1}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}}）$
当a＞1时，$a＞1，{a^{x_1}}-{a^{x_2}}＜0，1+\frac{1}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}＞0$，⇒f（x₁）＜f（x₂），f（x）为R上的增函数；
当a＜1时，$a＜1，{a^{x_1}}-{a^{x_2}}＞0，1+\frac{1}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}＞0$，⇒f（x₁）＜f（x₂），f（x）为R上的增函数．
综上可得，当a＞0，a≠1时，f（x）为R上的增函数． …（8分）
（3）f（acos2x-a²）+f（6acosx-1）≤0对任意$x∈[{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}]$恒成立，
?f（acos2x-a²）≤f（1-6acosx）对任意$x∈[{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}]$恒成立
?f（a（2cos²x-1）-a²）≤f（1-6acosx）对任意$x∈[{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}]$恒成立
?f（2at²-a²-a）≤f（1-6at）对任意$t∈[{0，\frac{1}{2}}]$恒成立
?2at²+6at-a²-a-1≤0对任意$t∈[{0，\frac{1}{2}}]$恒成立
?$\left\{\begin{array}{l}a＞0，a≠1\\ 2a{（{\frac{1}{2}}）^2}+6a•\frac{1}{2}-{a^2}-a-1≤0\end{array}\right.$
?$a∈（{0，\frac{1}{2}}]∪[{2，+∞}）$． …（14分）

点评 本题主要考查函数奇偶性，单调性的判断，以及函数恒成立问题，利用定义法是判断函数奇偶性和单调性的常用方法，考查学生的转化意识．