Question

5．在锐角△ABC中，A=2B，则$\frac{a}{b}$的取值范围是（　　）

• A． $（0，\sqrt{2}）$
• B． $（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$
• C． $（\sqrt{3}，2）$
• D． $（\sqrt{2}，2）$

Answer 1

分析 利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的范围，进而确定出cosB的范围，即可得出所求式子的范围．

解答 解：∵A=2B，
∴根据正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得：$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sin2B}{sinB}$=$\frac{2sinBcosB}{sinB}$=2cosB，
∵A+B+C=180°，
∴3B+C=180°，即C=180°-3B，
∵C为锐角，
∴30°＜B＜60°，
又0＜A=2B＜90°，
∴30°＜B＜45°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\sqrt{2}$＜2cosB＜$\sqrt{3}$，
则$\frac{a}{b}$的取值范围是（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故选：B．

点评 此题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．