Question

17．设x，y∈R⁺，且$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}$=2，则x+y的最小值为8．

Answer 1

分析 将x、y∈R⁺且$\frac{1}{2x}$+$\frac{9}{2y}$=1，代入x+y=（x+y）•（$\frac{1}{2x}$+$\frac{9}{2y}$），展开后应用基本不等式即可．

解答 解：∵$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}$=2，∴$\frac{1}{2x}$+$\frac{9}{2y}$=1，x、y∈R⁺，
∴x+y=（x+y）•（$\frac{1}{2x}$+$\frac{9}{2y}$）=$\frac{x+y}{2x}$+$\frac{9x+9y}{2y}$=5+$\frac{y}{2x}$+$\frac{9x}{2y}$≥5+2 $\sqrt{\frac{y}{2x}•\frac{9x}{2y}}$=8（当且仅当$\frac{y}{2x}$=$\frac{9x}{2y}$，x=2，y=6时取“=”）．
故答案为：8．

点评 本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题．