Question

已知双曲线(a＞0,b＞0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(　　)

A.(1,2］                              B.(1,2)

C.［2,+∞)                           D.(2,+∞)

Answer 1

解法一:如图,l₁与l₂分别为与双曲线的渐近线平行的两条直线,直线l为过F且倾斜角为60°的直线,要使l与双曲线的右支有且只有一个交点,则应使≥tan60°=.

∴

解法二:由已知设直线方程为y=(x-c),与双曲线联立消去y整理,得(b²-3a²)x²+6a²cx-3a²c²-a²b²=0.

∵直线与双曲线的右支有且只有一个交点,

则应有x₁·x₂＜0,即x₁·x₂=

∴而a²+b²=c²,

∴(舍去).

∴

经验证,此时Δ＞0.

特别地,当直线与双曲线的渐近线平行时,也适合题意,

此时,∴e=

综上,双曲线的离心率的取值范围是［2,+∞).

答案:C