Question

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，$\frac{tanB}{tanC}$=$\frac{3}{2}$，c=1，则△ABC的面积最大值是$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 由题意可得sinB=$\frac{2S}{a}$ ①，cosB=$\frac{{a}^{2}+1{-b}^{2}}{2a}$ ②，把①②相除可得tanB=$\frac{4S}{{a}^{2}+1{-b}^{2}}$，同理可得tanC=$\frac{4S}{{a}^{2}{+b}^{2}-1}$．再根据 $\frac{tanB}{tanC}$=$\frac{3}{2}$，可得 a²=5b²-5 ③．把③代入②可得cosB=$\frac{2a}{5}$，可得sinB=$\sqrt{1-\frac{4}{25}{•a}^{2}}$．求得S=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}•\frac{5}{2}$•$\sqrt{\frac{{4a}^{2}}{25}•（1-\frac{4}{25}{•a}^{2}）}$，利用基本不等式求得它的最大值．

解答 解：设△ABC的面积为S，则由c=1可得 S=$\frac{1}{2}$ac•sinB，∴sinB=$\frac{2S}{ac}$=$\frac{2S}{a}$ ①，
又cosB=$\frac{{a}^{2}+1{-b}^{2}}{2a}$ ②，把①②相除可得tanB=$\frac{4S}{{a}^{2}+1{-b}^{2}}$．
同理，可得tanC=$\frac{4S}{{a}^{2}{+b}^{2}-1}$．
再根据 $\frac{tanB}{tanC}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}-1}{{a}^{2}+1{-b}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，可得 a²=5b²-5 ③．
把③代入②可得cosB=$\frac{{2b}^{2}-2}{a}$=$\frac{2a}{5}$，∴sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{4}{25}{•a}^{2}}$．
S=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{a}{2}$•$\sqrt{1-\frac{4}{25}{•a}^{2}}$=$\frac{1}{2}•\frac{5}{2}$•$\sqrt{\frac{{4a}^{2}}{25}•（1-\frac{4}{25}{•a}^{2}）}$≤$\frac{5}{4}$•$\frac{{\frac{4}{25}a}^{2}+（1-{\frac{4}{25}a}^{2}）}{2}$=$\frac{5}{8}$，
当且仅当 a=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$时，取等号，故S的最大值为$\frac{5}{8}$，
故答案为：$\frac{5}{8}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、基本不等式，属于中档题．