Question

19．设函数f（x）=sin²x-sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，c=3，f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
（2）由$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$共线得，2sinA=sinB，再根据正弦定理得，2a=b．再根据c=3，cosC=$±\frac{1}{2}$，利用余弦定理求得a，b的值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x-sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1-cos2x}{2}$-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，f（x）_max=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2{x}_{min}$=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵由$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$共线得，2sinA=sinB，再根据正弦定理得，2a=b，
∵f（$\frac{C}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2×$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0＜C＜π，可得cosC=$±\frac{1}{2}$，
∴根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC，
=a²+4a²-2a•2a•（±$\frac{1}{2}$）=3a² ．
又c=3，所以a=$\sqrt{3}$，或$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，b=2$\sqrt{3}$或$\frac{6\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量共线（平行）的坐标表示，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．