Question

20．求下列函数的值域：
（1）y=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$；
（2）y=x-$\sqrt{1-2x}$；
（3）y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}-1}$（x＞1）；
（4）y=$\frac{1}{\sqrt{x-{x}^{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）利用分离常数法化简y=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=1-$\frac{2}{{x}^{2}+1}$，从而求函数的值域；
（2）换元，令$\sqrt{1-2x}$=t，（t≥0），则x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，从而求函数的值域；
（3）化简y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}-1}$=$\sqrt{x}$-1+$\frac{1}{\sqrt{x}-1}$+1，利用基本不等式求函数的值域；
（4）化简x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，从而可得$\frac{1}{\sqrt{x-{x}^{2}}}$≥2，从而解得．

解答 解：（1）y=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=1-$\frac{2}{{x}^{2}+1}$，
∵0＜$\frac{2}{{x}^{2}+1}$＜2，
∴-1＜1-$\frac{2}{{x}^{2}+1}$＜1，
故函数的值域为（-1，1）；
（2）令$\sqrt{1-2x}$=t，（t≥0），则x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
y=x-$\sqrt{1-2x}$=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$-t=-$\frac{1}{2}$（t+1）²+1≤$\frac{1}{2}$，
故函数的值域为（-∞，$\frac{1}{2}$）；
（3）y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}-1}$=$\sqrt{x}$-1+$\frac{1}{\sqrt{x}-1}$+1，
∵x＞1，∴$\sqrt{x}$-1＞0，
∴$\sqrt{x}$-1+$\frac{1}{\sqrt{x}-1}$≥2，
∴$\sqrt{x}$-1+$\frac{1}{\sqrt{x}-1}$+1≥3，
故函数的值域为[3，+∞）；
（4）∵x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{x-{x}^{2}}}$≥2，
故函数的值域为[2，+∞）．

点评 本题考查了函数的值域的各种求法．