Question

（Ⅰ）已知函数,若存在，使得,则称是函数的一个不动点，设二次函数.
(Ⅰ) 当时，求函数的不动点；
(Ⅱ) 若对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，求实数的取值范围；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)函数的不动点为 。
（Ⅱ） 
（Ⅲ）实数的取值范围.

解析试题分析：
思路分析：(Ⅰ) 解方程确定函数的不动点为 。
（Ⅱ）由题意，得到方程恒有两个不相等的实数根，
根据判别式，解得 。
（Ⅲ）设函数的两个不同的不动点为得到,，
且是的两个不等实根， 得到
直至中点坐标为。根据
，且在直线上得到a,b的关系。
解：(Ⅰ) 当时，，
解，得。
所以函数的不动点为 。
（Ⅱ）因为 对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，
所以，对于任意实数，方程恒有两个不相等的实数根，
即方程恒有两个不相等的实数根，
所以 ，
即 对于任意实数，，
所以  ，解得  
（Ⅲ）设函数的两个不同的不动点为，则,
且是的两个不等实根， 所以
直线的斜率为1，线段中点坐标为
因为 直线是线段的垂直平分线，
所以 ，且在直线上
则       
所以  当且仅当时等号成立
又      所以 实数的取值范围.
考点：新定义问题，均值定理的应用，一元二次方程根的研究。
点评：难题，本题给出“不动点”的概念，解题过程中，应注意理解并应用这一概念。将问题转化成一元二次方程问题，结合直线方程，应用均值定理，达到解题目的。