Question

14．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．
（Ⅰ）证明：AE∥CD；
（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AB，利用P、B、F、A四点共圆，PA与圆O切于点A，得出两组角相等，即可证明：AE∥CD；
（Ⅱ）四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，OP是该外接圆的直径，由切割线定理可得PA，即可求四边形PBFA的外接圆的半径．

解答 （ I）证明：连接AB．
∵P、B、F、A四点共圆，∴∠PAB=∠PFB． …（2分）
又PA与圆O切于点A，∴∠PAB=∠AEB，…（4分）
∴∠PFB=∠AEB∴AE∥CD．…（5分）
（ II）解：因为PA、PB是圆O的切线，所以P、B、O、A四点共圆，
由△PAB外接圆的唯一性可得P、B、F、A、O共圆，
四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，∴OP是该外接圆的直径．…（7分）
由切割线定理可得PA²=PC•PD=3×9=27 …（9分）
∴$OP=\sqrt{P{A^2}+O{A^2}}=\sqrt{27+25}=2\sqrt{13}$．
∴四边形PBFA的外接圆的半径为$\sqrt{13}$．…（10分）

点评 本题考查四点共圆，考查圆的切线的性质，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．