Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N⁺）在函数f（x）=32x-x²+1的图象上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前多少项和最大．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n．
（2）解出a_n＞0即可得出．

解答：解：（1）∵点（n，S_n）（n∈N⁺）在函数f（x）=32x-x²+1的图象上，∴Sn=32n-n2+1．
∴当n=1时，a₁=S₁=32-1+1=32．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=32n-n²+1-[32（n-1）-（n-1）²+1]=33-2n．
当n=1时，上式不成立．
∴数列{a_n}的通项公式为an=

32，n=1 33-2n，n≥2

；
（2）由a_n=33-2n≥0，解得n≤

33

2

=16+

1

2

．a₁＞0．
∴数列{a_n}的前16项和最大．

点评：熟练掌握“当n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n”及其前n项和最大与通项公式的关系等是解题的关键．