Question

5．如图所示，点E为矩形ABCD边CD的中点，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，将△ADE沿AE折起到△AD₁E的位置，使得平面AD₁E⊥平面ABCE，连接BD₁、CD₁，得到如图乙所示的几何体．
（1）证明：AE⊥BD₁；
（2）求点C到平面ABD₁的距离．

Answer 1

分析 （1）过点D₁作D₁O⊥AE，交AE于点O，连结BO，由已知得D₁O⊥平面ABCE，AD₁=$\sqrt{2}$，D₁E=1，AE=BE=$\sqrt{3}$，D₁O=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，AO=$\sqrt{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EO=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出BO，从而得到AO⊥BO，进而得到AE⊥平面BOD₁，由此能证明AE⊥BD₁．
（2）点C到平面ABD₁的距离等于点E到平面ABD₁的距离，利用等体积求点C到平面ABD₁的距离．

解答 （1）证明：过点D₁作D₁O⊥AE，交AE于点O，连结BO，
∵点E为矩形ABCD边CD的中点，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，
将△ADE沿AE折起到△AD₁E的位置，使得D₁-AE-B为直二面角，
∴D₁O⊥平面ABCE，AD₁=$\sqrt{2}$，D₁E=1，AE=BE=$\sqrt{3}$，
D₁O=$\frac{\sqrt{2}×1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，AO=$\sqrt{2-\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
EO=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
cos∠BAO=$\frac{4+3-3}{2×2×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
BO=$\sqrt{4+\frac{4}{3}-2×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴AO²+BO²=AB²，∴AO⊥BO，
∴∠BOD₁是直二面角D₁-AE-B的平面角，
∴∠BOD₁=90°，
∵BO⊥AE，D₁O⊥AE，BO∩OD₁=O，
∴AE⊥平面BOD₁，∵BD₁?平面BOD₁，
∴AE⊥BD₁．
（2）解：∵CE∥AB，
∴点C到平面ABD₁的距离等于点E到平面ABD₁的距离，设为h，
则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$h，
∴h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴点C到平面ABD₁的距离等于$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点C到平面ABD₁的距离的求法，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．