Question

10．若函数f（x）=3ax²+（3-4a）x-4的零点总在（0，2）内，则实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪{0}．

Answer 1

分析 通过讨论a=0和a≠0两种情况，从而综合得到结论．

解答 解：①a=0时，f（x）=3x-4，令f（x）=0，显然x=$\frac{4}{3}$在（0，2）内，成立；
②a≠0时，f（x）=3ax²+（3-4a）x-4=（3x-4）（ax+1），
令f（x）=0，得：x=$\frac{4}{3}$，或x=-$\frac{1}{a}$，
∴只需0＜-$\frac{1}{a}$＜2即可，解得：a＜-$\frac{1}{2}$，
综上：a的范围是：$（-∞\;，\;\;-\frac{1}{2}）∪\{0\}$，
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪{0}．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．