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设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）讨论f（x）在定义域内的单调性；
（2）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式 $数学公式$ 恒成立．

解：（1）函数定义域为（-1，+∞），求导数得 $\text{[math]}$
记g（x）=2x²+2x+b…（3分）
①当g（x）=0在（-1，+∞）上无解，即 $\text{[math]}$ 时，f（x）在（-1，+∞）单调递增
②当g（x）=0在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，f（x）在 $\text{[math]}$ 单调递增，
在 $\text{[math]}$ 单调递减，在 $\text{[math]}$ 单调递增
③当g（x）在（-1，+∞）仅有一实根，f（x）在 $\text{[math]}$ 单调递减，在 $\text{[math]}$ 单调递增…（9分）
（2）对于函数f（x）=x²-ln（x+1），令函数h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
则 $\text{[math]}$ ，∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0，
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0，
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ 恒成立．
显然，存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立．
分析：（1）确定函数定义域为（-1，+∞），求导数，考查方程2x²+2x+b=0在（-1，+∞）上解的情况，利用导数的正负可得函数的单调性；
（2）对于函数f（x）=x²-ln（x+1），令函数h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），证明x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0，再取 $\text{[math]}$ ，即可得到结论．
点评：本题考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．

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（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（3）求证：不等式ln

n+1

＞

n-1

（n∈N^*）恒成立．

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设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（1）讨论f（x）在定义域内的单调性；（2）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式恒成立．

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）讨论f（x）在定义域内的单调性；
（2）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式 $数学公式$ 恒成立．