Question

①（不等式选做题）不等式x+|2x-1|＜α的解集为∅，则实数α的取值范围是

α≤

1

2

．
②（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0＜θ≤2π中，曲线ρ（cosθ+sinθ）=2与ρ（sinθ-cosθ）=2的交点的极坐标为

（2，

π

2

）

．

Answer 1

分析：①欲使得不等式x+|2x-1|＜α的解集为∅，只须a小于等于函数x+|2x-1|的最小值即可，利用绝对值不等式的性质求出此函数的最小值即可．
②先把曲线的极坐标方程化为普通方程，求出两曲线的交点坐标，再把点的坐标化为极坐标．

解答：解：①不等式x+|2x-1|＜a的解集为∅，
又当x＞

1

2

时，x+|2x-1|=x+2x-1=3x-1＞

1

2

，
当x≤

1

2

时，x+|2x-1|=x+1-2x=1-x≥

1

2

，
∴x+|2x-1|的最小值为

1

2

，故α≤

1

2

；
②曲线ρ（cosθ+sinθ）=2，即 x+y=2，ρ（sinθ-cosθ）=2，即  y-x=2，
联立方程组，解得 x=0，y=2，故两曲线的交点坐标为（0，2），此点在直角坐标系中的y轴上，
故交点的极坐标为 （2，

π

2

），
故答案为：①α≤

1

2

，②（2，

π

2

）．

点评：本题主要考查了绝对值不等式的解法、空集的含义及考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．