Question

已知函数f(x)=log

1

2

(

1

2

sin2x)．
（1）求它的定义域、值域；
（2）判断它的奇偶性；
（3）判断它的周期性；
（4）写出函数的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）利用真数大于0，解不等式，可求函数f（x）的定义域；确定真数的范围，可求函数f（x）的值域；
（2）因为函数f（x）的定义域关于原点不对称，故此函数为非奇非偶函数；
（3）利用周期函数的定义，可求函数的周期；
（4）根据复合函数的单调性，故求函数t=sin2x的单调递减区间，结合原函数的定义域，可得函数的递增区间．

解答：解：（1）由

1

2

sin2x＞0，∴sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，解得kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z
故函数f（x）的定义域为{x|kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}…（3分）
因0＜

1

2

sin2x≤

1

2

，故log

1

2

(

1

2

sin2x)≥1
故函数f（x）的值域为[1，+∞）．…（5分）
（2）因为函数f（x）的定义域为{x|kπ＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z}，关于原点不对称，故此函数为非奇非偶函数．…（7分）
（3）因为log

1

2

(

1

2

sin2(x+π))=log

1

2

(

1

2

sin2x)，所以此函数的周期为T=π．…（10分）
（4）根据复合函数的单调性，故求函数t=sin2x的单调递减区间．
又考虑到原函数的定义域，故2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+π，k∈Z，
即为kπ+

π

4

＜x＜kπ+

π

2

，k∈Z
故函数的递增区间为（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

），k∈Z．…（14分）

点评：本题考查复合函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．