Question

15．已知函数f（x）=e^x，g（x）=mx+n．
（1）设h（x）=f（x）-g（x）．若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；
（2）设函数r（x）=$\frac{1}{f（x）}$+$\frac{nx}{g（x）}$，且n=4m（m＞0），当x≥0时，比较r（x）与1的大小关系．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．
（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=e^x-mx-n．
则h（0）=1-n，函数的导数f′（x）=e^x-m，
则f′（0）=1-m，则函数在x=0处的切线方程为y-（1-n）=（1-m）x，
∵切线过点（1，0），∴-（1-n）=1-m，即m+n=2．
（2）当x≥0时，r（x）≥1，
证明：∵n=4m（m＞0），
∴函数r（x）=$\frac{1}{f（x）}$+$\frac{nx}{g（x）}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{nx}{mx+n}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x}{x+4}$，
则函数的导数r′（x）=-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{16}{（x+4）^{2}}$=$\frac{16{e}^{x}-（x+4）^{2}}{{e}^{x}（x+4）^{2}}$，
设h（x）=16e^x-（x+4）²，
则h′（x）=16e^x-2（x+4）=16e^x-2x-8，
[h′（x）]′=16e^x-2，
当x≥0时，[h′（x）]′=16e^x-2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16-8=8＞0，
即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16-16=0，
即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，
故r（x）≥r（0）=$\frac{1}{{e}^{0}}+0=1$，
故当x≥0时，r（x）≥1成立．

点评 本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数单调性，在判断函数的单调性的过程中，多次使用了导数来判断函数的单调性是解决本题的关键，难度较大．