Question

6．设点P是曲线y=2x²上的一个动点，曲线y=2x²在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=2x²的另一交点为Q，则PQ的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 设出P点坐标，求导得直线l的斜率，则过点P且与直线l垂直的直线方程可求，和抛物线联立后求出Q点的坐标，利用两点式写出PQ的距离，先利用换元法降幂，然后利用导数求最值．

解答 解：设P的坐标为（a，2a²），由y‘=4x得l的斜率为4a，所以，直线PQ的斜率为=-$\frac{1}{4a}$，
所以，PQ的方程为：y-2a²=-$\frac{1}{4a}$ （x-a），
与y=2x²联立，整理得，2x²+$\frac{1}{4a}$x-2a²-$\frac{1}{4}$=0，
所以，由韦达定理，x₁+x₂=-$\frac{1}{8a}$，x₁x₂=-a²-$\frac{1}{8}$，
由弦长公式得，PQ=$\sqrt{1+\frac{1}{16{a}^{2}}}$•$\sqrt{（-\frac{1}{8a}）^{2}-4（-{a}^{2}-\frac{1}{8}）}$=$\sqrt{\frac{1}{1024{a}^{4}}+\frac{1}{8{a}^{2}}+4{a}^{2}+\frac{9}{4}}$，
令t=4a²＞0．g（t）=$\frac{1}{64{t}^{2}}+\frac{1}{2t}+t+\frac{9}{4}$．
则g′（t）=$\frac{32{t}^{3}-16t-1}{32{t}^{3}}$，
可得PQ的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，解答此题的关键是把高次幂的函数式通过换元降幂，是中档题．