Question

13．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：

阶梯级别	第一阶梯水量	第二阶梯水量	第三阶梯水量
月用水量范围（单位：立方米）	（0，10]	（10，15]	（15，+∞）

从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图所示的茎叶图：
（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；
（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水量为二阶的可能性最大，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户，第二阶梯水量的户数X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（2）设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y～B（10，$\frac{3}{5}$），由此能求出抽到n户月用水量为二阶的可能性最大时的n的值．

解答 解：（1）由茎叶图知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户，
第二阶梯水量的户数X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{6}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{0}{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

EX=$0×\frac{1}{30}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}$=$\frac{9}{5}$．
（2）设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y～B（10，$\frac{3}{5}$），
∴P（Y=k）=${C}_{10}^{k}（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{10-k}$，其中k=0，1，2，…，10，
设t=$\frac{P（Y=k）}{P（Y=k-1）}$=$\frac{{C}_{10}^{k}（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{10-k}}{{C}_{10}^{k-1}（\frac{3}{5}）^{k-1}（\frac{2}{5}）^{11-k}}$=$\frac{3（11-k）}{2k}$，
若t＞1，则k＜6.6，P（Y=k-1）＜P（Y=k），
若t＞1，则k＜6.6，P（Y=k-1）＜P（Y=k），
若t＜1，则k＞6.6，P（Y=k-1）＞P（Y=k），
∴当k=6或k=7时，p（Y=k）可能最大，
$\frac{P（Y=6）}{P（Y=7）}$=$\frac{{C}_{10}^{6}（\frac{3}{5}）^{6}（\frac{2}{5}）^{4}}{{C}_{10}^{7}（\frac{3}{5}）^{7}（\frac{2}{5}）^{3}}$=$\frac{7}{6}$＞1，
∴n的取值为6．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．