Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，关于数列{a_n}有下列四个命题：
①若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则S_n=na₁；
②若S_n=2+（-1）ⁿ，则{a_n}是等比数列；
③若S_n=an²+bn（a，b∈R），则{a_n}是等差数列；
④若S_n=pⁿ，则无论p取何值时{a_n}一定不是等比数列．
其中正确命题的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：对于①，直接根据既是等差数列又是等比数列的数列特点来判断即可；
对于②④，直接利用其前n项和，求出通项公式即可判断；
对于③，直接利用等差数列前n项和公式即可的出结论．

解答：解：①若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则数列为非0常数列，既a_n=a₁，则S_n=na₁成立；
②若S_n=2+（-1）ⁿ，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）^n-1-（-1）ⁿ，而a₁=2+（-1）¹=1不适合上式，所以{a_n}不是等比数列，
③因为{a_n}是等差数列时，Sn=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n符合S_n=an²+bn（a，b∈R）的形式，故③成立；
④若S_n=pⁿ，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pⁿ-p^n-1=p^n-1（p-1），而a₁=S₁=p不适合上式，所以{a_n}不是等比数列；
故只有①③④为真命题．
故答案为：①③④．

点评：本题主要 考查等差数列和等比数列的基础知识．若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则数列为非0常数列，既a_n=a₁，S_n=na₁．