Question

已知圆C1：x2+y2-2ay+a2-1=0与圆C2：(x-3)2+(y+2)2=16外切
（1）求实数a的值；
（2）若a＞0，求经过点P（-1，4）且与圆C₁相切的直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用两圆外切，圆心距等于半径的和，建立方程，即可求实数a的值；
（2）分类讨论，利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求得结论．

解答：解：（1）圆C1：x2+y2-2ay+a2-1=0，可化为x²+（y-a）²=1，圆心为（0，a），半径为1；
圆C2：(x-3)2+(y+2)2=16的圆心为（3，-2），半径为4
∵两圆外切，∴

32+(-2-a)2

=5
∴a=2或a=-6；
（2）由题意，a=2，圆C₁的方程为x²+（y-2）²=1，圆心为（0，2），半径为1，则
斜率不存在时，x=-1，满足题意；
斜率存在时，设方程为y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0
∴圆心到直线的距离为d=

|k+2|

k2+1

=1，
∴k=-

3

4

∴直线方程为3x+4y-13=0
综上，所求直线方程为：x=-1或3x+4y-13=0．

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆相切，考查学生的计算能力，属于中档题．