Question

设A₁、A₂是双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的实轴两个端点，P₁P₂是双曲线的垂直于x轴的弦，
（Ⅰ）直线A₁P₁与A₂P₂交点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过x=4与x轴的交点Q作直线与（1）中轨迹C交于M、N两点，连接FN、FM，其中F（1，0），求证：k_FN+k_FM为定值．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）设P₁（x₀，y₀），P₂（x₀，-y₀），则A₁P₁的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)，A₂P₂的方程为y=

-y0

x0-2

(x-2)，可得y2=

-y02

x02-4

(x2-4)．又P₁（x₀，y₀）在双曲线上，可得

x02

4

-

y02

3

=1，代入即可得出．
（II）Q（4，0）．设直线MN的方程为y=k（x-4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，利用根与系数的关系与斜率极限公式可得：k_FN+k_FM=

y2

x2-1

+

y1

x1-1

=

y2(x1-1)+y1(x2-1)

(x2-1)(x1-1)

，其中分子=0．

解答： （I）解：设P₁（x₀，y₀），P₂（x₀，-y₀），
则A₁P₁的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)，①
A₂P₂的方程为y=

-y0

x0-2

(x-2)，②
将①×②，得y2=

-y02

x02-4

(x2-4)．
又P₁（x₀，y₀）在双曲线上，
∴

x02

4

-

y02

3

=1，即y02=

3

4

(x02-4)，
代入上式，得

x2

4

+

y2

3

=1（y≠0）．
（II）证明：Q（4，0）．
设直线MN的方程为y=k（x-4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

，化为（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴x1+x2=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

．
∴k_FN+k_FM=

y2

x2-1

+

y1

x1-1

=

y2(x1-1)+y1(x2-1)

(x2-1)(x1-1)

，
其中分子=k（x₂-4）（x₁-1）+k（x₁-4）（x₂-1）
=k[2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8]
=k(

128k2-24

3+4k2

-

160k2

3+4k2

+8)
=0为定值．

点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．