Question

已知函数f（x）为[a，b]上的单调增函数，求证：方程f（x）=0在[a，b]上至多有一个实数根．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：推理和证明

分析：直接利用反证法的证明方法，从结论的否定，推出与条件矛盾的结果即可．

解答： 证明：假设f（x）=0在[a，b]上有两个不等实根x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x）=f（x₁）=0…（6分）
∵f（x）在[a，b]上为单调增函数．
∴f（x₁）＜f（x₂）与f（x₁）=f（x₂）矛盾
∴假设不成立
故f（x）=0在[a，b]上至多为一个实数根．…（14分）

点评：本题考查反证法证明命题的方法，注意结论的否定形式，推导过程的必须正确．推出矛盾是解题的关键．