Question

已知：△ABC中，

sinA

sinC

=

sin(A-B)

sin(B-C)

，求证：2b²=a²+c²．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：证明题,三角函数的求值,解三角形

分析：运用诱导公式，将原等式化为sin（B+C）sin（B-C）=sin（A+B）sin（A-B），再运用公式：sin（α-β）sin（α+β）=sin²α-sin²β，结合正弦定理，化简即可得到．

解答： 证明：由

sinA

sinC

=

sin(A-B)

sin(B-C)

，
即有sinAsin（B-C）=sinCsin（A-B），
即sin（B+C）sin（B-C）=sin（A+B）sin（A-B），
由于sin（α-β）sin（α+β）=（sinαcosβ-cosαsinβ）（sinαcosβ+cosαsinβ）
=sin²αcos²β-cos²αsin²β=sin²α（1-sin²β）-（1-sin²α）sin²β
=sin²α-sin²β，
则有sin²B-sin²C=sin²A-sin²B，
则2sin²B=sin²C+sin²A，
由正弦定理，可得，

2b2

4R2

=

c2

4R2

+

a2

4R2

，
则有，2b²=a²+c²．

点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．