Question

15．长方体的共顶点的三个侧面的面积分别为$\sqrt{3}，\sqrt{5}，\sqrt{15}$，则它的外接球的表面积为（　　）

• A． 6π
• B． 7π
• C． 8π
• D． 9π

Answer 1

分析 由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．

解答 解：因为一个长方体相邻的三个面的面积分别是$\sqrt{3}，\sqrt{5}，\sqrt{15}$，
设长方体的一个顶点上的三条棱长分别是a，b，c
则$\left\{\begin{array}{l}{ab=\sqrt{3}}\\{ac=\sqrt{5}}\\{bc=\sqrt{15}}\end{array}\right.$
解得：a=1，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{5}$
∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是1、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$，且它的8个顶点都在同一个球面上，
∴长方体的对角线就是确定直径，
长方体的体对角线的长是：$\sqrt{1+3+5}$=3
球的半径是：R=$\frac{3}{2}$
这个球的表面积：S=4π（$\frac{3}{2}$）²=9π
故选：D．

点评 本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．