Question

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB．
∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四边形ABFD为正方形．
∵O为BD的中点，
∴O为AF，BD的交点，
∵PD=PB=2，∴PO⊥BD， 
∵=，∴=，，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，
∴PO⊥AO，
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，
又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0）F（1，1，0），C（1，3，0）， ，．
则，，
，．
∴，
∴OE∥PF，
∵OE平面PDC，PF平面PDC，
∴OE∥平面PDC．
（Ⅲ） 设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角θ，
则，即，
解得，
令z₁=1，则平面PDC的一个法向量为，
又，，
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为．