Question

已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d,其中a,b,c是以d为公差的等差数列,且a＞0,d＞0.设x₀为f(x)的极小值点,在［1-,0］上,f′(x)在x₁处取得最大值,在x₂处取得最小值,将点(x₀,f(x₀)),(x₁,f′(x₁)),(x₂,

f′(x₂))依次记为A,B,C.

(1)求x₀的值;

(2)若△ABC有一边平行于x轴,且面积为2+,求a,d的值.

Answer 1

思路分析:本题考查函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数列等基础知识的综合应用,还考查应用数形结合的数学思想分析问题,解决问题的能力.

(1)解:∵2b=a+c,

∴f′(x)=ax²+2bx+c=ax²+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c).

令f′(x)=0,得x=-1或x=.

∵a＞0,d＞0,

∴0＜a＜b＜c.

∴＞1,＜-1.

当＜x＜-1时,f′(x)＜0;

当x＞-1时,f′(x)＞0.

∴f(x)在x=-1处取得最小值,即x₀=-1.

(2)解法一:∵f′(x)=ax²+2bx+c(a＞0),

∴f′(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=;

由＞1,1--()=1＜0,

故∈［1-,0］且|1--()|-||=1＞0.

∴f′(x)在［1-,0］上的最大值为f′(0)=c,

即x₁=0.

当x=时,f′(x)取得最小值为f′(),即x₂=.

f′(x)=ax²+2bx+c=ax²+2(a+d)x+(a+2d),f′()=f′()=.

∵f(x₀)=f(-1)=-a,

∴A(-1,-a),B(0,c),C(,).

由△ABC有一条边平行于x轴,知AC平行于x轴,

∴-a=,即a²=3d².①

又由△ABC的面积为2+,得(-1+)·(c+)=2+.

利用b=a+d,c=a+2d,得d+=2+.②

联立①②可得d=3,a=.

解法二:∵f′(x)=ax²+2bx+c(a＞0),

∴f′(1-)=0,f′(0)=c.

又c＞0,知f(x)在［1-,0］上的最大值为f′(0)=c,

即x₁=0.又由＞1,知∈［1-,0］,

∴当x=时,f′(x)取得最小值为f′()=,即x₂=.

∵f(x₀)=f(-1)=-a,

∴A(-1,-a),B(0,c),C(,).

由△ABC有一条边平行于x轴,知AC平行于x轴,

∴-a=,即a²=3d².①

又由△ABC的面积为2+,

得(-1+)·(c+)=2+.

利用b=a+d,c=a+2d,

得d+=2+.②

联立①②可得d=3,a=.