Question

15．平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=-1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；
③若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4．
其中，所有正确结论的序号是①②③．

Answer 1

分析 设出曲线上的点的坐标，求出曲线方程，画出图象，即可判断选项的正误．

解答 解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点，
因为曲线C是平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=-1的距离之和等于4的点的轨迹，
所以|PF|+|y+1|=4．即$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$+|y+1|=4，
解得y≥-1时，y=2-$\frac{1}{4}$x²，当y＜-1时，y=$\frac{1}{12}$x²-2；
显然①曲线C关于y轴对称；正确．
②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；正确．
③若点P在曲线C上，|PF|+|y+1|=4，|y|≤2，则1≤|PF|≤4．正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查曲线轨迹方程的求法，曲线的基本性质的应用，考查计算能力．