Question

20．设函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）（x∈[0，$\frac{9π}{8}$]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），则x₁+x₂+x₃的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{9π}{8}$，$\frac{5π}{4}$）
• B． [$\frac{5π}{4}$，$\frac{11π}{8}$）
• C． [$\frac{3π}{2}$，$\frac{13π}{8}$）
• D． [$\frac{7π}{4}$，$\frac{15π}{8}$）

Answer 1

分析 由x∈[0，$\frac{9π}{8}$]求出2x+$\frac{π}{4}$的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x₁+x₂的值，判断出x₃的范围，即可求出x₁+x₂+x₃的取值范围．

解答 解：由题意x∈[0，$\frac{9π}{8}$]，则2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{2}$]，
画出函数的大致图象：
由图得，当$\frac{\sqrt{2}}{2}≤a＜1$ 时，方程f（x）=a恰好有三个根，
由2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$得x=$\frac{π}{8}$，由2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$得x=$\frac{5π}{8}$，
由图知，点（x₁，0）与点（x₂，0）关于直线$x=\frac{π}{8}$对称，
点（x₂，0）与点（x₃，0）关于直线$x=\frac{5π}{8}$对称，
∴x₁+x₂=$\frac{π}{4}$，π≤x₃＜$\frac{9π}{8}$，则$\frac{5π}{4}≤$ x₁+x₂+x₃＜$\frac{11π}{8}$，
即x₁+x₂+x₃的取值范围是$[\frac{5π}{4}，\frac{11π}{8}）$，
故选B．

点评 本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想．