Question

12．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1-S_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n，以及前n项和S_n；
（2）若S₁+S₂，S₁+S₃，m（S₂+S₃）成等差数列，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=S_n+1-S_n=$（\frac{1}{2}）^{n+1}$．可得n≥2时，a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$，n=1时也成立．利用求和公式可得S_n．
（2）由（1）可得：S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{3}{4}$，S₃=$\frac{7}{8}$．根据S₁+S₂，S₁+S₃，m（S₂+S₃）成等差数列即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=S_n+1-S_n=$（\frac{1}{2}）^{n+1}$．
∴n≥2时，a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$，又a₁=$\frac{1}{2}$，因此n=1时也成立．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）由（1）可得：S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{3}{4}$，S₃=$\frac{7}{8}$．
∵S₁+S₂，S₁+S₃，m（S₂+S₃）成等差数列，∴$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$+m（$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{8}$）=2（$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{8}$）．
解得m=$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．