Question

18.函数f（x）是定义在［0,1］上的增函数，满足f（x）=2f（）且f（1）=1,在每个区间（,）（i=1,2,…）上，y=f（x）的图象都是平行于x轴的直线的一部分.

（Ⅰ）求f（0）及f（），f（）的值，并归纳出f（）（i=1,2,…）的表达式；

（Ⅱ）设直线x=，x=，x轴及y=f（x）的图象围成的矩形的面积为a_i（i=1,2,…）,求a₁、a₂及（a₁+a₂+…+a_n）的值.

Answer 1

18.本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.

解：（Ⅰ）由f（0）=2f（0）,得f（0）=0.

由f（1）=2f（）及f（1）=1,得f（）=f（1）=.

同理，f（）=f（）=.

归纳得f（）=（i=1,2,…）.

（Ⅱ）当＜x≤时，f（x）=,

a₁=,a₂=,a_i=（－）=（i=1,2,…）.

所以｛a_n｝是首项为,公比为的等比数列.

所以（a₁+a₂+…+a_n）==.