Question

已知集合A_n={

1

mn

，

2

mn

，…，

mn-1

mn

}（其中m，n∈N^*，且m为不小于2的常数），例如当m=3时，A₁={

1

3

，

2

3

}，A₂={

1

9

，

2

9

，…，

8

9

}，…，A_n={

1

3n

，

2

3n

，…，

3n-1

3n

}；设集合B₁=A₁，B_n={x|x∈A_n，且x∉A_n-1，n≥2}，若集合B_n的所有元素和为a_n，则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：当n=1时，B₁=A₁={

1

m

，

2

m

，…，

m-1

m

}，可得a₁=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

=

m-1

2

．当n≥2时，A_n={

1

mn

，

2

mn

，…，

mn-1

mn

}，A_n-1={

1

mn-1

，

2

mn-1

，…，

mn-1-1

mn-1

}．把集合A_n-1中的所有元素乘以m可得：

m

mn

，

2m

mn

，…，

mn-m

mn

．因此B_n的元素是从集合A_n中去掉：

m

mn

，

2m

mn

，…，

mn-m

mn

，之后剩下的元素．

解答： 解：当n=1时，B₁=A₁={

1

m

，

2

m

，…，

m-1

m

}，∴a₁=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

=

m(m-1) 2

m

=

m-1

2

．
当n≥2时，A_n={

1

mn

，

2

mn

，…，

mn-1

mn

}，A_n-1={

1

mn-1

，

2

mn-1

，…，

mn-1-1

mn-1

}．
把集合A_n-1中的所有元素乘以m可得：

m

mn

，

2m

mn

，…，

mn-m

mn

．
因此B_n的元素是从集合A_n中去掉：

m

mn

，

2m

mn

，…，

mn-m

mn

，之后剩下的元素．
∴B_n={x|x∈A_n，且x∉A_n-1，n≥2}={

1

mn

，…

m-1

mn

，

m+1

mn

，…，

mn-(m-1)

mn

，…，

mn-1

mn

}，
∴a_n=

(mn-1)mn 2

mn

-(

m

mn

+

2m

mn

+…+

mn-m

mn

)
=

mn-1

2

-

mn(mn-1-1) 2

mn

=

mn-mn-1

2

．
当n=1时，上式也成立．
故答案为：

mn-mn-1

2

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、集合与元素之间的关系、交集运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．