Question

已知等差数列{a_n}满足a₃=5，a₅-5a₂=3，等比数列{b_n}满足b₁=3，公比q=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式推导出a₅+2a₂=15，a₅-5a₂=3，由此能求出a_n=2n-1．由等比数列{b_n}满足b₁=3，公比q=3，能求出b_n=3ⁿ．
（2）由c_n=a_n+b_n=2n-1+3ⁿ，利用分组求和法能求出S_n．

解答： （1）解：∵等差数列{a_n}满足a₃=5，a₅-5a₂=3，
∴a₅-a₄=a₄-a₃=a₃-a₂，
∵a 5 -a₄=a 4 -a 3 ，∴a₅+a₃=2a₄，
∵a₄-a₃=a₃-a₂，∴a₄+a₂=2a₃=2×5=10，
∴a₄=10-a₂，
a₅+a₃=2a₄=2（10-a₂）=20-2a₂=a₅+5，
∴a₅+2a₂=15，又a₅-5a₂=3，
解得a₅=9，a₂=3，∴

a1+4d=9 a1+d=3

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
∵等比数列{b_n}满足b₁=3，公比q=3．
∴b_n=3ⁿ．
（2）解：∵c_n=a_n+b_n=2n-1+3ⁿ，
∴S_n=2（1+2+3+…+n）-n+（3+3²+3³+…+3ⁿ）
=2×

n(n+1)

2

-n+

3(1-3n)

1-3

=n2 +

3n+1

2

-

3

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．