Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

1

2

n²+

1

2

n，若b_n=（-1）ⁿ

2n+1

anan+1

，则数列{b_n}的前2n项的和等于

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：利用递推式可得a_n=n，可得b_n=（-1）ⁿ

2n+1

n(n+1)

=(-1)n(

1

n

+

1

n+1

)，再利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：∵S_n=

1

2

n²+

1

2

n，
∴当n≥2时，Sn-1=

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n²+

1

2

n-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=n．
当n=1时，a₁=S₁=

1

2

+

1

2

=1，上式也成立．
∴a_n=n．
∴b_n=（-1）ⁿ

2n+1

anan+1

=（-1）ⁿ

2n+1

n(n+1)

=(-1)n(

1

n

+

1

n+1

)，
∴数列{b_n}的前2n项的和=-(1+

1

2

)+(

1

2

+

1

3

)-(

1

3

+

1

4

)+…-(

1

2n-1

+

1

2n

)+(

1

2n

+

1

2n+1

)
=

1

2n+1

-1
=

-2n

2n+1

．
故答案为：

-2n

2n+1

．

点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．