Question

已知点A（3，0），F（2，0），在双曲线x²-

y2

3

=1上求一点P，使|PA|+

1

2

|PF|的值最小．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：根据题意，算出双曲线的离心率e=2，右准线为l：x=

1

2

．作AN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，根据圆锥曲线统一定义得到|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PN|．由平几知识可得：当A、P、N三点共线时，|PA|+|PN|=|AN|达到最小值，由此即可求出点P的坐标和|PA|+

1

2

|PF|的最小值．

解答： 解∵双曲线方程为x²-

y2

3

=1，
∴a=1，b=

3

，c=2，
可得离心率e=

c

a

=2，

a2

c

=

1

2

，所以右准线为l：x=

1

2

，
作AN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，则
由圆锥曲线统一定义得

|PF|

|PN|

=e，可得|PF|=e|PN|=2|PN|，
∴|PN|=

1

2

|PF|，因此，|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PN|，
当且仅当A、P、N三点共线时，|PA|+|PN|=|AN|达到最小值．
此时，在x²-

y2

3

=1中令y=0，得x=±1，
∵x＞0，∴取x=1
即当P的坐标为（1，0）时，|PA|+

1

2

|PF|的最小值为|AN|=3-

1

2

=

5

2

．

点评：本题着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、圆锥曲线的统一定义等知识，属于中档题．