Question

下列几个命题，正确的有

 

．（填正确命题的序号）
①若方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②若函数y=f（x+1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=-1成轴对称；
③函数f（x）=log

1

3

（6-x-x²）的单调递增区间是[-

1

2

，2）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①，结合函数f（x）=x²+（a-3）x+a的图象可知，只需x=0时，函数的图象在x轴下方即可，据此列出不等式；
对于②，根据偶函数的性质以及图象变换的方法求解；
对于③，先求函数的定义域，然后结合复合函数的单调性求法，将问题转化为内函数y=6-x-x²的单调区间求法．

解答： 解：对于①，令f（x）=x²+（a-3）x+a，要使x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，只需f（0）＜0，即a＜0即可，故①正确；
对于②，因为函数y=f（x+1）为偶函数，所以图象关于y轴对称，又函数y=f（x）图象可由y=f（x+1）图象沿x轴向右平移一个单位得到，所以y=f（x）图象关于直线x=1对称，故②错误；
对于③，易知函数的定义域为（-3，2），令t=6-x-x²，则y=log

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3

t，外函数为减函数，所以要求原函数的增区间，即求函数t=6-x-x²在（-3，2）上的减区间，即[-

1

2

，2)，故③正确．
故答案为①③．

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了方程根的分布、函数的奇偶性及图象平移以及复合函数的单调区间求法等知识，属于基础题，难度不大．