Question

设y=f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，y=f（x）的图象是经过点（-2，2），斜率为-1的一条射线，又当x∈[-1，0]时，y=f（x）的图象是顶点在（0，2），且过点（-1，1）的一段抛物线．
（1）试写出函数y=f（x）在R上的表达式；
（2）作出函数y=f（x）（x∈R）的图象并写出它的单调区间．

Answer 1

考点：函数图象的作法,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件求出当x≤-1时f（x）的解析式，当x∈[-1，0]时f（x）的解析式，再结合f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，求得当x∈[0，1]时，f（x）的解析式，当x≥1时，f（x）的解析式，综合可得结论．
（2）由函数f（x）的解析式作出函数y=f（x）（x∈R）的图象，数形结合求得函数f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）由题意可得当x≤-1时，f（x）的图象是一条射线，端点为A（-1，1），且经过点B（-2，2），
故函数的f（x）的解析式为f（x）=-x．
当x∈[-1，0]时，y=f（x）的图象是顶点在（0，2），且过点（-1，1）的一段抛物线．
设函数解析式为y=ax²+2，把点A（-1，1）代入求得a=-1，
故f（x）=-x²+2．
再根据f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，可得当x∈[0，1]时，f（x）=-x²+2，
当x≥1时，f（x）=x．
综上可得，f（x）=

-x，x≤-1 -x2+2，-1＜x＜1 x，x≥1

．
（2）由函数f（x）的解析式作出函数y=f（x）（x∈R）的图象：
结合函数f（x）的图象可得，
它的单调减区间为（-∞，-1]、[0，1]；
增区间为（-1，0）、（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性、函数图象的对称性，求函数的解析式，做函数的图象，属于中档题．