Question

已知函数f（x）=x³+2x-sinx，（x∈R）
（1）证明：函数f（x）是R上的单调递增函数；
（2）解关于x的不等式f（ax²-x）+f（1-ax）＜0，其中a∈R．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数 导数，利用导数即可证明函数f（x）是R上的单调递增函数；
（2）判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化即可解不等式．

解答： 解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=3x²+2-cosx，
∵3x²≥0，2-cosx＞0，
∴f′（x）＞0，故函数f（x）是R上的单调递增函数．
（2）∵f（-x）=-x³-2x+sinx=-（x³+2x-sinx）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
则不等式等价为f（ax²-x）＜-f（1-ax）=f（ax-1），
则ax²-x＜ax-1，
整理得ax²-（a+1）x+1＜0，
即（ax-1）（x-1）＜0，
若a=0，则不等式等价为x-1＞0，解得x＞1．
若a＜0，则不等式等价为 a（x-

1

a

）（x-1）＜0，
即（x-

1

a

）（x-1）＞0，此时不等式的解集为（-∞，

1

a

）∪（1，+∞），
若a＞0，不等式等价为 （x-

1

a

）（x-1）＜0，
若a=1，则不等式的解集为∅．
若0＜a＜1，不等式的解集为（1，

1

a

），
若a＞1，不等式的解集为（

1

a

，1）．

点评：本题主要考查不等式的求解以及函数单调性的判断和证明，利用导数以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．