Question

已知函数g（x）=ax+a，f（x）=

x2-1，0≤x≤2 -x2，-2≤x＜0

，若对任意的x₁∈[-2，2]，存在x₂∈[-2，2]，使g（x₁）=f（x₂）成立，则a的取值范围是（　　）

• A、[-

  4

  3

  ，+∞）
• B、[-

  4

  3

  ，1]
• C、（0，1]
• D、（-∞，1]

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的值

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：由任意的x₁∈[-2，2]，都存在x₂∈[-2，2]，使得g（x₁）=f（x₂），可得g（x）=ax+a在x₁∈[-2，2]的值域为f（x）=

x2-1，0≤x≤2 -x2，-2≤x＜0

在x₂∈[-1，2]的值域的子集，对a讨论，a＞0，a=0，a＜0，构造关于a的不等式组，可得结论．

解答： 解：当x₂∈[-2，0）时，由f（x）=-x²得，
f（x₂）∈[-4，0），
当x₂∈[0，2]时，由f（x）=x²-1得，
f（x₂）∈[-1，3]，
即有当x₂∈[-2，2]时，f（x₂）的值域为[-4，3]．
又∵任意的x₁∈[-2，2]，都存在x₂∈[-2，2]，使得g（x₁）=f（x₂），
∴当x₁∈[-2，2]时，g（x₁）的值域包含于[-4，3]，
当a＜0时，g（x）在[-2，2]递减，值域为[3a，-a]，
即有-4≤3a＜-a≤3，解得-

4

3

≤a＜0；
当a=0时，g（x₁）=0恒成立，满足要求；
当a＞0时，g（x）在[-2，2]递增，值域为[-a，3a]，
即有-4≤-a＜3a≤3，解得0＜a≤1．
综上所述实数a的取值范围是[-

4

3

，1]．
故选B．

点评：本题考查的知识点是一次函数和二次函数在闭区间上的最值，其中根据已知分析出“g（x）=ax+a在x₁∈[-2，2]的值域为f（x）在x₂∈[-2，2]的值域的子集”是解答的关键．