Question

已知函数f（x）=x²+4ax+2a+6
（1）若函数f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；
（2）若函数f（x）的函数值均为非负数，求g（a）=2-a|a-1|的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于函数的值域为[0，+∞），则判别式△=0，解方程即可得到；
（2）由于函数f（x）的函数值均为非负数，则△=16a²-4（2a+6）≤0，解得a的范围，化简f（a），运用函数的单调性，即可得到．

解答： 解：（1）由于函数的值域为[0，+∞），则判别式△=16a²-4（2a+6）=0，
解得a=-1或a=

3

2

；
（2）由于函数f（x）的函数值均为非负数，
则△=16a²-4（2a+6）≤0，
解得-1≤a≤

3

2

，
则-2≤a-1≤

1

2

，
∴f（a）=2-a|a-1|=

a2-a+2，-1≤a≤1 -a2+a+2，1＜a≤ 3 2

，
①当-1≤a≤1时，f（a）=(a-

1

2

)2+

7

4

，f（

1

2

）≤f（a）≤f（-1），
∴

7

4

≤f（a）≤4，
②1＜a≤

3

2

时，f（a）=-(a-

1

2

)2+

9

4

，f（

3

2

）≤f（a）＜f（1），
∴

5

4

≤f（a）＜2，
综上函数f（a）的值域为[

5

4

，4]．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的值域的求法，考查运用函数的单调性求值域，属于中档题和易错题．