Question

已知向量

m

=（sinx，

1

2

），

n

=（sinx+

3

cosx，3），f（x）=

m

•

n

△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=3．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，b=1，求c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）由平面向量数量积的运算可得解析式f（x）=sin（2x-

π

6

）+2，由已知可得sin（2A-

π

6

）=1，由2A-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），可解得A的值．
（2）法一：由余弦定理可得c²-c-2=0，即可解得c的值；法二：由正弦定理可得sinB=

1

2

，又b＜a，即可求B，从而求C及c的值．

解答： 解：（1）因为f（x）=

m

•

n

=sin²x+

3

sinxcosx+

3

2

=

1-cos2x

2

+

3 sin2x

2

+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+2…4分
所以f（A）=sin（2A-

π

6

）+2=3，即sin（2A-

π

6

）=1，
因为2A-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
所以2A-

π

6

=

π

2

，所以A=

π

3

．…8分
（2）法一：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
可得c²-c-2=0，所以c=2或c=-1（舍去）．…10分
法二：由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinB=

1

2

，又b＜a，所以B=

π

6

，
所以C=

π

2

，所以c=2…12分

点评：本题主要考查平面向量数量积的运算，余弦定理，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．