Question

已知函数f（x）=x²-2ax（a＞0）．
（1）当a=2时，解关于x的不等式-3＜f（x）＜5；
（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立，求出M（a）的解析式．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）a=2时，把不等式-3＜f（x）＜5化为不等式组

x2-4x＞-3 x2-4x＜5

，求出解集即可；
（2）由二次函数的图象与性质，讨论a＞0时|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立时，
M（a）最大，此时对应的方程f（x）=±5根的情况，从而求出M（a）的解析式．

解答： 解：（1）当a=2时，函数f（x）=x²-4x，
∴不等式-3＜f（x）＜5可化为-3＜x²-4x＜5，
即

x2-4x＞-3 x2-4x＜5

，
解得

x＜1或x＞3 -1＜x＜5

，
∴不等式的解集为（-1，1）∪（3，5）；
（2）∵a＞0时，f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，
∴当-a²＜-5，即a＞

5

时，
要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=-5的较小的根，
即M（a）=a-

a2-5

；
当-a²≥-5，即0＜a≤

5

时，
要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=5的较大的根，
即M（a）=a+

a2+5

；
综上，M（a）=

a- a2-5 ，a＞ 5 a+ a2+5 ，0＜a≤ 5

．

点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是较难理解的题目．