Question

已知锐角△ABC中，∠B=60°，b=3，求ac的范围．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：由正弦定理可得，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，结合已知可先表示a，c，然后由△ABC为锐角三角形及A+C=120°可求A的范围，再把所求的ac用sinA，cosA表示，利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求

解答： 解：由正弦定理可得，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

sin60°

=2

3

∴a=2

3

sinA，c=2

3

sinC
∵△ABC为锐角三角形
∴0°＜A＜90°，0°＜C＜90°且A+C=120°
∴30°＜A＜90°
∵ac=2

3

sinA×2

3

sinC=12sinAsin（120°-A）
=12sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=6

3

sinAcosA+6sin²A
=3

3

sin2A+6×

1-cos2A

2

=3

3

sin2A-3cos2A+3
=6（

3

2

sin2A-

1

2

cos2A）+3
=6sin（2A-30°）+3
∵30°＜A＜90°
∴30°＜2A-30°＜150°
∴

1

2

＜sin(2A-30°)≤1
∴6＜6sin（2A-30°）+3≤9
即6＜ac≤9

点评：本题综合考查了正弦定理及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．