Question

为争强学生社会主义价值观的意识，某中学高三年级组织了社会主义价值观知识竞赛，并随机抽取了甲、乙两个班中各5名学生的成绩，成绩如下所示：

甲班	88	89	92	92	94
乙班	86	90	92	93	94

（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两个班成绩的平均数和方差，并判断对社会主义价值观知识的掌握哪个班更稳定？
（2）从甲、乙两班竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学中随机抽取2名，记这两名来自甲班的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,极差、方差与标准差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）利用平均数和方差计算公式，分别求出甲、乙两班成绩的平均数和方差，从而得到

.

x甲

=

.

x乙

，S甲2＜S乙2，由此得到对社会主义价值观知识的掌握甲班更稳定．
（2）甲、乙两班竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学中甲班有3人，乙班有4人，由此得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．

解答： 解：（1）甲班成绩的平均数为：

.

x甲

=

1

5

（88+89+92+92+94）=91，
乙班成绩的平均数为：

.

x乙

=

1

5

(86+90+92+93+94)=91，
甲班成绩的方差为：
S甲2=

1

5

[（88-91）²+（89-91）²+（92-91）²+（92-91）²+（94-91）²]=4.8，
乙班成绩的方差为：
S乙2=

1

5

[（86-91）²+（90-91）²+（92-91）²+（93-91）²+（94-91）²]=8，
∵

.

x甲

=

.

x乙

，S甲2＜S乙2，
∴对社会主义价值观知识的掌握甲班更稳定．
（2）甲、乙两班竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学中甲班有3人，乙班有4人，
由此得X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=

C 2 4

C 2 7

=

6

21

，
P（X=1）=

C 1 3 C 1 4

C 2 7

=

12

21

，
P（X=2）=

C 2 3

C 2 7

=

3

21

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	6 21	12 21	3 21

EX=0×

6

21

+1×

12

21

+2×

3

21

=

6

7

．

点评：本题考查平均数和方差的求法与应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．