Question

已知不等式f（x）=|x-2|-|x-1|
（Ⅰ）若f（x）≤m的解集为R，求m的最小值；
（Ⅱ）若f（x）最大值为n且a+b+c=n，求证：a²+b²+c²≥

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3

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最大值，然后转化求出m的范围；
（Ⅱ）利用已知条件求出1的平方，利用重要不等式即可证明．

解答： （Ⅰ）解：∵||x-2|-|x-1||≤|（x-2）-（x-1）|=1，
即有-1≤|x-2|-|x-1|≤1，
由于f（x）≤m的解集为R，
∴m≥1，即m的最小值为1．
（Ⅱ）证明：由-1≤f（x）≤1，
可得f（x）的最大值为1，即n=1．
由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ac，
即有a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
由a+b+c=1，得1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥

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3

．（当且仅当a=b=c时取等号）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力．