Question

已知椭圆C₁：x²+4y²=1，焦点在x轴上的椭圆C₂的短轴长与C₁的长轴长相等，且其离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）若点T满足：

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

，其中M，N是C₂上的点，且直线OM，ON的斜率之积等于-

1

4

，是否存在两定点A，B，使|TA|+|TB|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的性质求出C₁的长轴，然后根据离心率公式列出椭圆C₂的系数a，b，c的方程组，解之即可．
（2）根据已知可得，此例应该与椭圆的定义有关，因此只需将点T，M，N的坐标给出来，然后根据已知条件求出|TA|+|TB|的值即可．

解答： 解：（1）由方程C₁：x²+4y²=1得其长轴长为2，再设椭圆C₂的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则由已知得

2b=2 c a = 3 2 a2=b2+c2

，
解得a=2，故C₂的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设T点的坐标为（x，y），M，N的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）．
由

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

得（x，y）=（x₁-x₂，y₁-y₂）+2（x₁，y₁）+（x₂，y₂）．
所以x=2x₂+x₁，y=2y₂+y₁．
设直线OM，ON的斜率分别为k_OM，k_ON，由已知得k_OM•k_ON=

y1y2

x1x2

=-

1

4

．
即x₁x₂+4y₁y₂=0，又x12+4y12=4，x22+4y22=4，
所以x2+4y2=(2x2 +x1 )²+4(2y2+y1)2=x12+4y12+4(x22+4y22)+4x1x2+16y₁y₂
=20+4（x₁x₂+4y₁y₂）=20，
所以x²+4y²=20，即T是椭圆

x2

20

+

y2

5

=1上的点，
根据椭圆的定义可知，存在两定点A，B分别为椭圆

x2

20

+

y2

5

=1的两个焦点使|TA|+|TB|为定值，因为此时a²=20，所以a=2

5

，所以|TA|+|TB|=2a=4

5

．

点评：本题考查了椭圆的定义和基本性质及其标准方程的求法，熟练掌握椭圆的定义及其性质是解题的关键．