Question

设z为复数，则“|z|=1”是“z+

1

z

是实数”的

 

条件．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：数系的扩充和复数

分析：根据复数的有关运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答： 解：设z=a+bi，a，b∈R，
∵复数z为虚数，∴b≠0
则z+

1

z

=a+bi+

1

a+bi

=a+bi+

a-bi

a2+b2

，
若|z|=1，则a²+b²=1，
即z+

1

z

=a+bi+

a-bi

a2+b2

=a+bi+a-bi=2a是实数，充分性成立．
若z+

1

z

是实数，
则z+

1

z

=a+bi+

1

a+bi

=a+bi+

a-bi

a2+b2

=a+

a

a2+b2

+（b-

b

a2+b2

）i，
∴b-

b

a2+b2

=0，
解得b=0（舍去）或a²+b²=1，
∴|z|=1，必要性成立．
故“|z|=1”是“z+

1

z

是实数”的充要条件，
故答案为：充要条件

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复数的有关概念和运算是解决本题的关键，考查学生的计算能力．