Question

已知函数f（x）=3ax²-2（a+b）x+b（a＞0）中，|f（0）|≤2，|f（1）|≤2，证明：当0≤x≤1时，有|f（x）|≤2．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,推理和证明

分析：由于函数的对称轴为x=

a+b

3a

，0≤x≤1，故需要进行分类讨论，当

a+b

3a

≥1，

a+b

3a

≤0时，f（x）在[0，1]上是单调函数，当0＜

a+b

3a

＜1时，即-a＜b＜2a，则-

a2+b2-ab

3a

≤f（x）≤max{f（0），f（1）}．从而可证得结论．

解答： 证明：f（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3a（x-

a+b

3a

）²-

a2+b2-ab

3a

（1）当

a+b

3a

≥1或

a+b

3a

≤0时，f（x）在[0，1]上是单调函数，
所以f（1）≤f（x）≤f（0），或f（0）≤f（x）≤f（1），且f（0）+f（1）=a＞0．
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
（2）当0＜

a+b

3a

＜1时，即-a＜b＜2a，则-

a2+b2-ab

3a

≤f（x）≤max{f（0），f（1）}．
①当-a＜b≤

b

2

时，则0＜a+b≤

3

2

a，
所以  f（1）-

a2+b2-ab

3a

=

3a2-(a+b)2

3a

≥

1

4

a2＞0，
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
②当

a

2

＜b＜2a时，则（b-

a

2

）（b-2a）＜0，即a²+b²-

5

2

ab＜0，
所以b-

a2+b2-ab

3a

=

4ab-a2-b2

3a

＞0，即f（0）＞

a2+b2-ab

3a

，
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
综上所述：当0≤x≤1时，所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
因为|f（0）|≤2，|f（1）|≤2，
所以当0≤x≤1时，有|f（x）|≤2．

点评：本题以函数为载体，主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于零；当函数为减函数时，导数小于零，考查二次函数的最值，解题的关键是分类讨论．