Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，a₁=2且a₁，a₂，a₃-8成等差数列．数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²-8n．
（Ⅰ）分别求出数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

bn

an

，若c_n≤m，对于?n∈N^*恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式可得a_n，再利用递推式可得b_n．
（II）cn=

2n-9

2×3n-1

，由c_n≤m，对于?n∈N^*恒成立，即m≥c_n的最大值，作差c_n+1-c_n对n分类讨论即可得出．

解答： （Ⅰ）解：∵a₁=2且a₁，a₂，a₃-8成等差数列，
∴2a₂=a₁+a₃-8，
∴2a1q=a1+a1q2-8，
化为q²-2q-3=0，
∴q₁=3，q₂=-1，
∵q＞1，∴q=3，
∴a n=2×3n-1，
当n=1时，b1=S1=12-8×1=-7．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2-8n-[(n-1)2-8(n-1)]=2n-9，
当n=1时，2×1-9=b₁满足上式，
∴bn=2n-9，n∈N*．
（Ⅱ）cn=

2n-9

2×3n-1

，
若c_n≤m，对于?n∈N^*恒成立，
即m≥c_n的最大值，
cn+1-cn=

2n-7

2×3n

-

2n-9

2×3n-1

=

-4n+20

2×3n

，
当c_n+1=c_n时，即n=5时，c₅=c₆，
当c_n+1＞c_n时，即n＜5，n∈N^*时，c₁＜c₂＜c₃＜c₄＜c₅，
当c_n+1＜c_n时，即n＞5，n∈N^*时，c₆＞c₇＞c₈＞c₉＞…，
∴c_n的最大值为c5=c6=

1

162

，即m≥

1

162

．
∴m的最小值为

1

162

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．